Question

已知抛物线y=ax²+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）．
（1）求此抛物线解析式；
（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；
（3）①在抛物线AB段上存在一点E使△ABE的面积最大，求E点的坐标；
②请直接写出以A、B和在满足①的条件中的E点为顶点的平行四边形的第四个顶点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）取A关于y轴的对称点A′，取B关于x轴的对称点B′，根据轴对称和两点间线段最短可得：此时A′B′的长即为AD+CD+BC的最小值，易求得A′、B′的坐标，即可得到线段A′B′的长，那么AB+A′B′即为四边形ABCD的最小周长．
（3）根据平行四边形的性质，和A、B、E的坐标即可求得．

解答：解：（1）依题意：

3=a+b+1 1=4a+2b+l

，
解得：

a=-2 b=4

，
∴抛物线的解析式为y=-2x²+4x+1；
（2）如图，

点A（1，3）关于y轴的对称点A′的坐标是（-1，3），
点B（2，1）关于x轴的对称点B′的坐标是（2，-1），
由对称性可知AB+BC+CD+DA=AB+B′C+CD+DA′≥AB+A′B′，
由勾股定理可求得AB=

5

，A′B′=5，
所以，四边形ABCD周长的最小值是AB+A'B′=5+

5

；
（3）①∵A（1，3），B（2，1）．
∴直线AB的解析式为y=-2x+5，
∴直线方程为2x+y-5=0，
∵点E抛物线AB段上，
∴设E的坐标为（m，-2m²+4m+1），
∴点E到直线AB的距离h=

|2m-2m2+4m+1-5|

22+12

=

|-2m2+6m-4|

5

，
∵1＜m＜2，
∴-2m²+6m-4＞0，
∴h=

-2m2+6m-4

5

，
∵AB=

5

，
∴△ABE的面积S=

1

2

AB•h=-m²+3m-2=-（m-

3

2

）²+

1

4

，
∴当E点的横坐标为

3

2

时，△ABE的面积有最大值，
∴E点的坐标为（

3

2

，

5

2

）；
②∵A（1，3），B（2，1）E（

3

2

，

5

2

），以A、B和在满足①的条件中的E点为顶点的四边形是平行四边形，
∴P1（

3

2

，

3

2

）  P2（

5

2

，

1

2

）  P3（

1

2

，

9

2

 ）．

点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，点到直线的距离，函数的最大值以及平行四边形的性质等，根据性质作出图形是本题的关键．