Question

如图，点M（

3

2

，0）为Rt△OED斜边上的中点，O为坐标原点，∠ODE=90°，过D作AB⊥DM交x轴的正半轴于A点，交y轴的正半轴于B点，且sin∠OAB=

3

5

（1）求：过E、D、O三点的二次函数解析式．
（2）问此抛物线顶点C是否在直线AB上，请予以证明；若顶点不在AB上，请说明理由．
（3）试在y轴上作出点P，使PC+PE为最小，并求出P点的坐标（不写作法和证明）

Answer 1

分析：（1）作DH⊥x轴于H，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和sin∠OAB=

3

5

，求出D点坐标和E点坐标，又知抛物线过点O，可设出二次函数一般式解答；
（2）求出抛物线顶点C的坐标和直线解析式，将顶点C代入直线解析式看是否成立；
（3）作出E点关于y轴的对称点E′，连接CE'与y轴交点即为点P，根据两点之间线段最短，存在点P使PC+PE’最小，根据轴对称的性质PC+PE最小．

解答：解：作DH⊥x轴于H．
（1）∵点M（

3

2

，0）为Rt△OED斜边上的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得OM=ME=DM=

3

2

，
∴OE=

3

2

×2=3，
得E（3，0）．
∵AB⊥DM，sin∠OAB=

3

5

，
∴在Rt△ADM中，AM=

3 2

sin∠OAB

=

3 2

3 5

=

5

2

．
根据勾股定理，AD=2，于是在Rt△DHA中，HD=2×sin∠OAB=2×

3

5

=

6

5

，
根据勾股定理，AH=

22- 36 25

=

8

5

，OH=4-

8

5

=

12

5

．
于是D点坐标为（

12

5

，

6

5

）．
∵抛物线过E（3，0）、D（

12

5

，

6

5

）、O（0，0）三点，
∴设解析式为y=ax²+bx．
将各点代入解析式得：

9a+3b=0 144 25 a+ 12 5 b= 6 5

，
解得a=-

5

6

，b=

5

2

，
解析式为y=-

5

6

x²+

5

2

x．

（2）∵DA=2，DM=

3

2

，
∴根据勾股定理得，AM=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，MO=

3

2

，
∴AO=

3

2

+

5

2

=

8

2

=4，
∴得A（4，0）．因为直线过A（4，0）、D（

12

5

，

6

5

）两点，
设解析式为y=kx+b，
将A（4，0）、D（

12

5

，

6

5

）代入得

4k+b=0 12 5 k+b= 6 5

，
解得

k=- 3 4 b=3

，
直线解析式为y=-

3

4

x+3．
由（1）知抛物线解析式为y=-

5

6

x²+

5

2

x，
顶点坐标为x=-

5 2

2×(- 5 6 )

=

2

3

，y=

-( 5 2 )2

4×(- 5 6 )

=

15

8

，
即C（

3

2

，

15

8

），
代入直线AB的解析式得，-

3

4

×（

3

2

）+3=

15

8

，故顶点在AB上；

（3）作出E点关于y轴的对称点E′，
则E‘点坐标为（-3，0），直线CE′的解析式为y=kx+b，
将C（

3

2

，

15

8

）、E‘（-3，0）代入解析式
得，

-3k+b=0 3 2 k+b= 15 8

，
解得

k= 5 12 b= 5 4

，
解析式为y=

5

12

x+

5

4

，
当x=0时，y=

5

4

，
即P点坐标为（0，

5

4

）．

点评：此题将直角三角形的性质和直线、抛物线相结合，巧妙利用了坐标和线段长度之间的关系，求出所需坐标，利用待定系数法求出函数解析式，利用解析式，其它问题便可迎刃而解．