Question

如图，点P的坐标为(2，

3

2

)，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线y=

k

x

(x＞0)于点N，作PM⊥AN交双曲线y=

k

x

(x＞0)于点M，连接AM、MN，已知PN=4．
（1）求k的值．
（2）求△APM的面积．
（3）试判断△APM与△AMN是否相似，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）过N作NB垂直于x轴，垂足为B，由P的坐标得到AP的长，根据AP+PN=AN，求出AN的长，即为N的横坐标，又AN与想轴平行，得到N与P的纵坐标相等，由P的纵坐标得到N的纵坐标，确定出点N的坐标，将N的坐标代入双曲线解析式即可求出k的值；
（2）要求三角形APM的面积，由题意可知三角形APM为直角三角形，只需求出直角边PM和AP即可求出．AP为P的坐标的值，显然得出，PM为M的纵坐标减去P的纵坐标，延长MP与x轴交于Q点，由PM与AN垂直，得到MQ垂直于x轴，故得到M与P的横坐标相等，由P的横坐标得到M的横坐标，代入反比例解析式求出纵坐标，得到MQ的长，进而求出MP的长，利用直角边乘积的一半即可求出三角形APM的面积；
（3）不相似，理由为：由题意可知三角形APM为直角三角形，根据（2）求出的AP及MP的长，利用勾股定理求出AM的长，再由三角形PMN为直角三角形，由MP与PN的长，利用勾股定理求出MN的长，根据MN²+AM²≠AN²，得到三角形AMN不是直角三角形，故两三角形不可能相似．

解答：解：（1）过N作NB⊥x轴，交x轴于点B，
∵AN∥x轴，∴P与N纵坐标相等，
又AP=2，PN=4，∴AN=AP+PN=2+4=6，
∵P(2，

3

2

)，
∴N点坐标为（6，

3

2

），
把N代入解析式y=

k

x

中，得k=

3

2

×6=9；

（2）延长MP，延长线与x轴交于Q点，
∵PM⊥AN，AN∥x轴，
∴MQ⊥x轴，
∴P和Q的横坐标相等，即Q的横坐标为2，
把x=2代入反比例解析式y=

9

x

中得：y=

9

2

，
则MP=MQ-PQ=

9

2

-

3

2

=3，又AP=2，
∴S_△APM=

1

2

MP•AP=

1

2

×3×2=3；

（3）不相似，理由为：
∵△APM为直角三角形，AP=2，MP=3，
根据勾股定理得：AM=

AP2+MP2

=

13

，
又△PMN为直角三角形，PM=3，PN=4，
根据勾股定理得：MN=

PM2+PN2

=5，
∵MN²+AM²≠AN²，即∠AMN≠90°，
∴△AMN不是直角三角形，而△APM为直角三角形，
则△APM与△AMN不相似．

点评：此题属于反比例综合题，涉及的知识有：反比例函数系数k的几何意义，点坐标的求法，待定系数法确定函数解析式，勾股定理及逆定理，三角形面积的求法，以及相似三角形的判定，根据题意作出辅助线NB⊥x轴及延长线MP的延长线PQ是解本题的关键．