题目内容
【题目】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．
（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；
（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．
【答案】（1）见解析；（2）y=
，0≤x＜4；（3）BN=0或1或2
﹣4．
【解析】试题分析：
（1）如图1，过点D作DG⊥BC于G，由已知易得四边形ABGD是矩形，则BG=AD=2，DG=AB=4，由BC=5可得CG=3，由勾股定理可得CD=5，结合BM=10可得CM=BM-BC=5=BC=CD，由此可得△BDM是直角三角形，从而可得BD⊥DM；
（2）如图1，由（1）中CD==5=BC可得∠BDC=∠DBC结合∠MDN=∠BDC即可得到∠DBC=∠MDN，再结合∠BMD=∠DMN可得△MDN∽△MBD，从而可得DM2=BM×MN结合DM2=DG2+MG2=16+（y﹣2）2，MN=BM﹣BN=y﹣x，可得16+（y﹣2）2=y（y﹣x），整理可得y=，结合点N在线段BC上可得x的取值范围是：
；
（3）分：Ⅰ、DN=DM；II、DM=MN；III、MN=DN三种情况结合已知条件和前面所得结论进行分析计算即可.
试题解析：
（1）如图1，过点D作DG⊥BC于G，
∴∠BGD=90°，
∵∠A=90°，梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABGD是矩形，BG=AD=2，DG=AB=4，
∵BC=5，
∴CG=BC﹣BG=3，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=5，
∵BM=10，
∴CM=BM﹣BC=5=BC=CD，
∴△BDM是直角三角形，
∴BD⊥DM；
（2）由（1）知，CD=5=BC，
∴∠BDC=∠DBC，
∵∠MDN=∠BDC，
∴∠DBC=∠MDN，
∵∠BMD=∠DMN，
∴△MDN∽△MBD，
∴
，
∴DM2=BM×MN
在Rt△DMG中，根据勾股定理得，DM2=DG2+MG2=16+（y﹣2）2，
∵MN=BM﹣BN=y﹣x，
∴16+（y﹣2）2=y（y﹣x），
∴y=，
又∵点N在线段BC上，
∴0≤x＜4；
（3）∵△DMN是等腰三角形，
∴Ⅰ、当DN=DM时，如图1，NG=MG，
∵NG=2﹣x，MG=y﹣2，
∴2﹣x=y﹣2，
∴x+y=4②，
由（2）知，y=，
∴y（4﹣x）=20①
联立①②，解得x=﹣
﹣4（舍）或x=﹣4，
即：BN=-4，
Ⅱ、当DM=MN时，
∴∠MDN=∠DNM，
∵∠CBD=∠MDN，
∴∠CBD=∠DNM，
∴点N与点B重合，
∴BN=0，
Ⅲ、当MN=DN时，
∴∠MDN=∠DMN，
∵∠DBC=∠MDN，
∴∠DBC=∠DMN，
∴DM=BD，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD2=AD2+AB2=20，
∵DM2=16+（BM﹣2）2，
∴20=16+（BM﹣2）2，
∴BM=0（舍去）或BM=4，
∴如图2，
点M在线段BC上，
同（2）的方法得，16+（BM﹣2）2=BM（BM﹣BN）③，
∵MN=BN+BM④，
联立③④解得，BN=1．
即：BN=0或1或﹣4．
