Question

如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．
（1）若AB=7，AC=5，求△ADE的周长；
（2）若∠ABC=∠ACB，AC=10，直接写出图中所有的等腰三角形并求△ADE的周长．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,平行线的性质

专题：

分析：（1）根据角平分线定义和平行线性质求出∴∠DOB=∠DBO，∠EOC=∠ECO，推出OD=DB，OE=EC，即可求出△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DO+OE+AE=AD+DB+AE+EC=AB+AC=12；
（2）根据等角对等边，求得AB=AC=10，由（1）得△ADE的周长=AB+AC即可求得．

解答：解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
∵DE∥BC
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB
∴∠DOB=∠DBO，∠EOC=∠ECO，
∴OD=DB，OE=EC，
∵AB=7，AC=5
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DO+OE+AE=AD+DB+AE+EC=AB+AC=12，
（2）图中等腰三角形的有：△ADE，△DBO，△EOC，△OBC，△ABC，
∵∠ABC=∠ACB，AC=10
∴AB=AC=10，
由（1）得△ADE的周长=AB+AC=20．

点评：本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．