Question

如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．

Answer 1

（1）通过证明四边形BMDN是平行四边形，∵BD⊥MN，∴平行四边形BMDN是菱形
（2）MD长为5。

解析试题分析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠BNO=∠DMO，∠NBO=∠MDO。
∵MN是BD的中垂线，∴OB=OD，BD⊥MN。
∴△BNO≌△DMO（AAS）。∴ON=OM。
∴四边形BMDN的对角线互相平分。∴四边形BMDN是平行四边形。
∵BD⊥MN，∴平行四边形BMDN是菱形。
（2）∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD。
设MD长为x，则MB=DM=x，AM=8－x。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90⁰。
在Rt△AMB中，BM²=AM²+AB²，即x²=（8－x）²+4²，解得：x=5。
答：MD长为5。
考点：四边形形状的判定
点评：本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解决本题的关键，然后就是运用勾股定理，求线段长