Question

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE，联结BF、CD、AC。
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）如果DE²=BE·CE，求证四边形ABFC是矩形。

Answer 1

证明：（1）连接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，∠ACB=∠DBC，
∵DE⊥BC，EF=DE，
∴BD=BF，∠DBC=∠FBC，
∴AC=BF，∠ACB=∠CBF，
∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）∵DE²=BE·CE，
∴，
∵∠DEB=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DEC，
∴∠CDE=∠DBE，
∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，
∴四边形ABFC是矩形。