题目内容

设抛物线y=x2+(2a+1)x+2a+
5
4
的图象与x轴只有一个交点．
（1）求a的值；
（2）求a18+323a-6的值．
（1）∵抛物线y=x2+(2a+1)x+2a+
5
4
的图象与x轴只有一个交点，
∴△=(2a+1)2-4×1×(2a+
5
4
)=0，
解得：a=
1±
5
2
．

（2）∵a=
1±
5
2
，
∴a是方程x2-x-1=0的根，
∴a2-a-1=0，
∵a≠0，
∴a-
1
a
=1，
a2+
1
a2

=(a-
1
a
)2+2
=3，
a4+
1
a4

=(a2+
1
a2
)2-2
=7，
a8+
1
a8

=(a4+
1
a4
)2-2
=47，
a12+
1
a12

=（a4+
1
a4
）（a8+
1
a8
-1）
=7×（47-1）
=322，
a18+323a-6
=（a18+
1
a6
）+
322
a6

=a6（a12+
1
a12
）+
322
a6

=322a6+
322
a6

=322（a6+
1
a6
），
a6+
1
a6

=（a2+
1
a2
）（a4+
1
a4
-1）
=3×（7-1）
=18．
∴322（a6+
1
a6
）=322×18=5796．
练习册系列答案
相关题目
若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
．我们把它们称为根与系数关系定理．
如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：
AB=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(-
b
a
)2-
4c
a
=
b2-4ac
a2
=
b2-4ac
|a|

请你参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b2-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，b2-4ac=
 
；
（3）设抛物线y=x2+kx+1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB=60°？
设抛物线y=x2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位后，所得抛物线的顶点坐标为（-2，0），则原抛物线的解析式为
 
．
6、设抛物线y=x2+kx+4与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），则下列结论中，一定成立的是（　　）
如图，抛物线y=x2-4x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-5）．
（1）k=
-5
-5
，点A的坐标为
（-1，0）
（-1，0）
，点B的坐标为
（5，0）
（5，0）
；
（2）设抛物线y=x2-4x+k的顶点为M，求三角形ABM的面积．
（2013•丰台区二模）已知关于x的方程x2-（m-2）x+m-3=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）设抛物线y=x2-（m-2）x+m-3与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰好是点M，求m的值．

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