题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点A（
，0），B（3
，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连接DA，DF．设运动时间为t秒．（1）求∠ABC的度数；
（2）当t为何值时，AB∥DF；
（3）设四边形AEFD的面积为S．
①求S关于t的函数关系式；②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S＜2
时，求m的取值范围（写出答案即可）．
【答案】分析：（1）过点B作BM⊥x轴于点M，在Rt△ABM中求tan∠BAM，得出∠BAM的度数，利用BC∥OA求解；
（2）当AB∥DF时，∠CFD=∠CBA=30°，在Rt△CDF，Rt△BEF中，解直角三角形求CF，BF，根据CF+BF=BC，列方程求解；
（3）①由D、E两点坐标可知DE∥x轴，根据S=S△DEF+S△DEA，利用三角形面积公式列函数式；
②将①中的关系式代入S＜
中求t的取值范围，将E（
+
t，t）代入抛物线y=x2+mx中，求m、t的关系式，代入t的取值范围求m的取值范围．
解答：解：（1）过点B作BM⊥x轴于点M，
∵C（0，2），B（3
，2），
∴BC∥OA，
∵BM=2，AM=2
，
∴tan∠BAM=
，
∴∠ABC=∠BAM=30°．
（2）∵AB∥DF，
∴∠CFD=∠CBA=30°，
在Rt△DCF中，CD=2-t，∠CFD=30°，
∴CF=
（2-t），
∵AB=4，
∴BE=4-2t，∠FBE=30°，
∴BF=
，
∴
（2-t）+
=3
，
∴t=
．
（3）①过点EG⊥x轴于点G，
∵∠EAG=30°，AE=2t，
∴EG=
AE=t，OG=
+
t
∴E（
+
t，t）
∴DE∥x轴
S=S△DEF+S△DEA=
DE×CD+
DE×OD=
DE×OC
=
×（
t+
）×2=
t+
．
②当S＜2
时，
t+
＜2
∴t＜1，
∵t＞0，
∵0＜t＜1，
∴
＜m＜
．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是解直角三角形的知识，平行线的性质求相关点的坐标，根据面积公式列等量关系求解．
（2）当AB∥DF时，∠CFD=∠CBA=30°，在Rt△CDF，Rt△BEF中，解直角三角形求CF，BF，根据CF+BF=BC，列方程求解；
（3）①由D、E两点坐标可知DE∥x轴，根据S=S△DEF+S△DEA，利用三角形面积公式列函数式；
②将①中的关系式代入S＜
中求t的取值范围，将E（
+
t，t）代入抛物线y=x2+mx中，求m、t的关系式，代入t的取值范围求m的取值范围．解答：解：（1）过点B作BM⊥x轴于点M，
∵C（0，2），B（3
，2），∴BC∥OA，
∵BM=2，AM=2
，∴tan∠BAM=
，∴∠ABC=∠BAM=30°．
（2）∵AB∥DF，
∴∠CFD=∠CBA=30°，
在Rt△DCF中，CD=2-t，∠CFD=30°，
∴CF=
（2-t），
∵AB=4，
∴BE=4-2t，∠FBE=30°，
∴BF=
，∴
（2-t）+
=3
，∴t=
．（3）①过点EG⊥x轴于点G，
∵∠EAG=30°，AE=2t，
∴EG=
AE=t，OG=
+
t∴E（
+
t，t）∴DE∥x轴
S=S△DEF+S△DEA=
DE×CD+
DE×OD=
DE×OC=
×（
t+
）×2=
t+
．②当S＜2
时，
t+
＜2
∴t＜1，
∵t＞0，
∵0＜t＜1，
∴
＜m＜
．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是解直角三角形的知识，平行线的性质求相关点的坐标，根据面积公式列等量关系求解．
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