Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线BE与AC交于点E，∠ACB的平分线CD与AB交于点D，BE与CD相交于点O，求证：OB=OC，OD=OE．

Answer 1

分析 首先根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，然后根据角平分线的性质可得∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，进而得到∠OBC=∠OCB，再根据等角对等边可得BO=CO；证明△BCD≌△CBE，得到CD=BE，即可得到OD=OE．

解答 解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是角平分线，它们相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO，
在△BCD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ACB}\\{BC=CB}\\{∠DCB=∠EBC}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△CBE，
∴CD=BE，
∴CD-OC=BE-OB，
∴OD=OE．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、角平分线，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．