Question

如图，正方形A₁B₁C₁D₁的顶点P₁、P₂在反比例函数y=

4

x

（x＞0）的图象上，顶点A₁、B₁分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧做正方形A₂B₂P₂P₃，顶点A₂在x轴的正半轴上，则点P₃的坐标为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：作P₁C⊥y轴于C，P₂D⊥x轴于D，P₃E⊥x轴于E，P₃F⊥P₂D于F，设P₁（a，

4

a

），易证得Rt△P₁B₁C≌Rt△B₁A₁O≌Rt△A₁P₂D，则OB₁=P₁C=A₁D=a，于是可表示P₂的为（

4

a

，

4

a

-a），再把P₂的坐标代入反比例解析式中可解得a=1，则P₂（2

2

，

2

）；再设P₃的坐标为（b，

4

b

），易证得Rt△P₂P₃F≌Rt△A₂P₃E，则P₃E=P₃F=DE=

4

b

，可列方程2

2

+

4

b

=b，然后解方程求出b的值，这样就可直接写出P₃的坐标．

解答：解：作P₁C⊥y轴于C，P₂D⊥x轴于D，P₃E⊥x轴于E，P₃F⊥P₂D于F，如图，
设P₁（a，

4

a

），则CP₁=a，OC=

4

a

．
∵四边形A₁B₁P₁P₂为正方形，
∴P₁B₁=B₁A₁=A₁P₂，
易证得Rt△P₁B₁C≌Rt△B₁A₁O≌Rt△A₁P₂D，
∴OB₁=P₁C=A₁D=a，
∴OA₁=B₁C=P₂D=OC-OB₁=

4

a

-a，
∴OD=a+

4

a

-a=

4

a

，
∴P₂的坐标为（

4

a

，

4

a

-a），
把P₂（

4

a

，

4

a

-a）代入y=

4

x

（x＞0），
得

4

a

（

4

a

-a）=4，解得a₁=-

2

（舍去），a₂=

2

，
∴P₂（2

2

，

2

）．
设P₃的坐标为（b，

4

b

），
又∵四边形P₂P₃A₂B₂为正方形，
易证得Rt△P₂P₃F≌Rt△A₂P₃E，
∴P₃E=P₃F=DE=

4

b

，
∴OE=OD+DE=2

2

+

4

b

，
∴2

2

+

4

b

=b，
解得b₁=-

6

-

2

（舍去），b₂=

6

-

2

，
∴点P₃的坐标为（

6

+

2

，

6

-

2

）．
故答案为：（

6

+

2

，

6

-

2

）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正方形性质以及全等三角形的判定与性质．