Question

已知抛物线y=

1

2

x2-x+k与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）设抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），求此抛物线的解析式，并求出与x轴的另一个交点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点D在y轴的正半轴上，且以A、O、D为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线与x轴交点个数与相对应的一元二次方程的根的判别式的关系即可解答；
（2）将A（-1，0）代入y=

1

2

x2-x+k即可求出k的值，从而得到抛物线的解析式．
（3）根据题意，分△OCB∽△OAD和△OCB∽△ODA两种情况讨论．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x2-x+k与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴（-1）²-4×

1

2

k＞0，
∴解得k＜

1

2

；

（2）将A（-1，0）代入y=

1

2

x2-x+k得，

1

2

+1+k=0，
解得k=-

3

2

，
则函数解析式为y=

1

2

x²-x-

3

2

．
当y=0时，

1

2

x²-x-

3

2

=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
于是B点坐标为（3，0）；

（3）设点D坐标为（0，y），y＞0，
因以A、O、D为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，
则①△OCB∽△OAD，

OC

OA

=

OB

OD

，
即

2

1

=

3

OD

，
解得OD=

3

2

，故D（0，

3

2

）；
②△OCB∽△ODA，

OC

OB

=

OD

OA

，
即OD=

2

3

，
故点D的坐标为：（0，

3

2

）或（0，

2

3

）．

点评：此题考查了二次函数的综合运用，涉及抛物线的性质、相似三角形的性质等内容，要注意分类讨论．