Question

11．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数y=2x的图象与CB交于点D，函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．
（1）求函数y=$\frac{k}{x}$的表达式，并直接写出E、F两点的坐标；
（2）求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，以及函数上点的坐标特征可求点D的坐标为（1，2），根据待定系数法可求反比例函数表达式，进一步得到E、F两点的坐标；
（2）过点F作FG⊥AB，与AB的延长线交于点G，根据两点间的距离公式可求AE=1，FG=3，再根据三角形面积公式可求△AEF的面积．

解答 解：（1）∵正方形OABC的边长为2，
∴点D的纵坐标为2，即y=2，
将y=2代入y=2x，得x=1，
∴点D的坐标为（1，2），
∵函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点D，
∴2=$\frac{k}{1}$，
解得k=2，
∴函数y=$\frac{k}{x}$的表达式为y=$\frac{2}{x}$，
∴E（2，1），F（-1，-2）；
（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G，
∵E（2，1），F（-1，-2），
∴AE=1，
FG=2-（-1）=3，
∴△AEF的面积为：$\frac{1}{2}$AE•FG=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及正方形的性质，解题的关键是求得D（1，2），E（2，1），F（-1，-2）．