Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC边上的中线，分别以AB、AC所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系（如图）．
（1）求直线BD的函数关系式；
（2）在BD所在的直线上求一点P，使四边形ABCP为平行四边形（保留作图痕迹），并简要说明作法，根据作图过程，说明作出的四边形是平行四边形；
（3）求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先求出点D的坐标，然后利用待定系数法即可得出直线BD的函数关系式；
（2）延长BD至P使BD=BP，则点P即是要找的点；
（3）根据平行四边形的性质可得CP∥AB，且CP=AB，从而可得出点P的坐标．

解答：解：（1）∵AB=AC=4，BD是AC边上的中线，
∴点B坐标为（0，4），点D坐标为（2，0），
设直线BD的函数解析式为：y=kx+b，
则

2k+b=0 b=4

，
解得：

k=-2 b=4

，
故直线BD的函数关系式为y=-2x+4；

（2）延长BD至P使BD=DP，连接AP、CP，则四边形ABCP为平行四边形．
由题意得，AD=DC，
又∵BD=DP，
∴四边形ABCP是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；

（2）∵ABCP是平行四边形，
∴CP

∥

.

AB，
故可得点P的纵坐标为-4，代入直线BD解析式可得点P的横坐标为4，
即可得点P的坐标为（4，-4）．

点评：此题考查了一次函数的综合题，解答本题需要求出点D的坐标，从而得出直线BD的函数解析式，第二问需要我们熟练掌握平行四边形的判定定理，难度一般．