Question

如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，△APQ是直角三角形？
（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）把△APQ沿AB（或沿AC）翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形能不能是菱形？若能，求出此时菱形的面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出AP、AQ，然后分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况，利用∠A的余弦列式计算即可得解；
（2）先求出△ABC的面积，然后利用∠A的正弦求出点P到AQ的距离，再根据△APQ的面积公式列出方程，然后求出根的判别式△＜0，确定不存在；
（3）根据菱形的对角相等，对角线平分一组对角可得关于AB翻折时，∠A=∠APQ，过点Q作QD⊥AB于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD=

1

2

AP，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出DQ，然后根据S_菱形=2S_△APQ计算即可得解；关于AC翻折时，∠A=∠AQP，过点P作PE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=

1

2

AQ，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出PE，然后根据S_菱形=2S_△APQ计算即可得解．

解答：解：（1）∵点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，
∴AP=10-2t，AQ=t，
如图1，∠AQP=90°时，cos∠A=

AQ

AP

=

AC

AB

，
∴

t

10-2t

=

8

10

，
解得t=

40

13

，
如图2，∠APQ=90°时，cos∠A=

AP

AQ

=

AC

AB

，
∴

10-2t

t

=

8

10

，
解得t=

25

7

，
综上所述，t=

40

13

或

25

7

时，△APQ是直角三角形；

（2）△ABC的面积=

1

2

AC•BC=

1

2

×8×6=24cm²，
假设存在t使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则点P到AQ的距离为：AP•sin∠A=（10-2t）×

6

10

=

3

5

（10-2t），
∴△APQ的面积=

1

2

t•

3

5

（10-2t）=

1

2

×24，
整理得，t²-5t+20=0，
∵△=（-5）²-4×1×20=25-80=-55＜0，
∴此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；

（3）根据菱形的性质，若关于AB翻折时，则∠A=∠APQ，
如图1，过点Q作QD⊥AB于D，则AD=

1

2

AP=

1

2

（10-2t）=5-t，
cos∠A=

AD

AQ

=

AC

AB

，
∴

5-t

t

=

8

10

，
解得t=

25

9

，
∴DQ=AQ•sin∠A=

25

9

×

6

10

=

5

3

，
AP=10-2t=10-2×

25

9

=

40

9

，
∴S_菱形=2S_△APQ=2×

1

2

×

40

9

×

5

3

=

200

27

；
若关于AC翻折时，则∠A=∠AQP，
如图2，过点P作PE⊥AC于E，则AE=

1

2

AQ=

t

2

，
cos∠A=

AE

AP

=

AC

AB

，
∴

t 2

10-2t

=

8

10

，
解得t=

80

21

，
∴PE=AP•sin∠A=（10-2×

80

21

）×

6

10

=

50

21

×

6

10

=

10

7

，
∴S_菱形=2S_△APQ=2×

1

2

×

80

21

×

10

7

=

800

147

；
综上所述，△APQ沿AB（或沿AC）翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形能是菱形，
菱形的面积为

200

27

或

800

147

．

点评：本题是相似形综合题型，主要考查了锐角三角函数，三角形的面积，菱形的对角相等，对角线平分一组对角的性质，（1）（3）两题难点在于要分情况讨论求解，（2）利用根的判别式判断即可，综合题，但难度不大．