Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F．
（1）求证：∠E=∠AFE；
（2）若AF=3，BF=5，求CE的长并直接写出△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，从而得出∠D=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE；
（2）根据等角对等边即可得出CE，然后又三角形的三边关系即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，
∴∠E=∠BFP，
又∵∠BFP=∠AFE，
∴∠E=∠AFE；

（2）∵∠E=∠AFE，
∴AF=AE，
∴△AEF是等腰三角形．
又∵AF=3，BF=5，
∴CA=AB=8，AE=3，
∴CE=11；∵0＜BC＜16，
∴16＜△ABC的周长＜32．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的三边关系，解题的关键是证明∠E=∠AFE，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．