Question

如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP的面积为S（单位：cm²），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）证△APQ∽△ABC，推出=，代入得出=，求出方程的解即可
（2）求出∠C=90°，过P作PD⊥AC于D，证△APD∽△ABC，代入得出方程=，求出PD=（10-2t），根据三角形的面积公式求出即可；
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-t²+6t=××8×6，求出此方程无解，即可得出答案．
解答：解：（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴=，
∴=，
t=，
即当t为s时，PQ∥BC；

（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠C=90°，
过P作PD⊥AC于D，
则PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴=，
∴=，
PD=（10-2t），
∴S=AQ•PD=•2t•（10-2t）=-t²+6t=-（t-）²+7.5，
∵-＜0，开口向下，有最大值，
当t=秒时，S的最大值是7.5cm²．

（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则S_△APQ=S_△ABC
即-t²+6t=××8×6
t²-5t+10=0，
∵△=5²-4×1×10=-15＜0，
∴此方程无解，
即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
点评：本题考查了三角形的面积，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力．