Question

等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕点P旋转．

(1)如图①，当三角板的两边分别交AB，AC于点E，F时．求证：△BPE∽△CFP；

(2)操作：将三角板绕点P旋转到图②情形时，三角板的两边分别交BA的延长线于点E，交边AC于点F．

①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？(只需写出结论)

②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BPE＋∠BEP＝150°，∵∠EPF＝30°，∴∠BPE＋∠FPC＝150°，∴∠BEP＝∠CPF，∴△BPE∽△CFP． 　　(2)①探究1：△BPE与△CFP相似，其理由与第(1)小题相同．②探究2：∵△BPE∽△CFP，∴BE∶PC＝PE∶PF，∵P为BC的中点，∴PB＝PC，∴BE∶PB＝PE∶PF，∵∠EPF＝∠B＝30°，∴△BPE∽△PFE．

提示：

判定两个三角形相似有三种方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．