Question

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

(1)操作发现：

在等腰△ABC，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是________(填序号即可)

①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME

(2)数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；

(3)类比探究：

(i)在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MEC的形状．答：________．

(ii)在三边互不相等的△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使(2)中的结论时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？(限制用题中字母表示)并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：●操作发现：①②③④ 　　●数学思考： 　　答：MD＝ME， 　　1、MD＝ME； 　　如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG， 　　∵M是BC的中点， 　　∴MF∥AC，MF＝AC． 　　又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线， 　　∴EG⊥AC且EG＝AC， 　　∴MF＝EG． 　　同理可证DF＝MG． 　　∵MF∥AC， 　　∴∠MFA＋∠BAC＝180°． 　　同理可得∠MGA＋∠BAC＝180°， 　　∴∠MFA＝∠MGA． 　　又∵EG⊥AC，∴∠EGA＝90°． 　　同理可得∠DFA＝90°， 　　∴∠MFA＋∠DFA＝∠MGA＝∠EGA， 　　即∠DFM＝∠MEG，又MF＝EG，DF＝MG， 　　∴△DFM≌△MGE(SAS)， 　　∴MD＝ME． 　　●类比探究 　　(1)答：等腰直角三解形 　　(2)增加条件∠BAD＝∠CAE或∠BAD＋∠CAE＝∠BAC