Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD为8或$\frac{25}{2}$；
其中正确的结论是①②③．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
②由BD=6，则DC=10，证得对应边不相等，△ABD与△DCE不全等；
③由△DCE为直角三角形，可得有两种可能：①∠CED=90°②∠EDC=90°，然后分别去分析，利用等腰三角形的性质与相似三角形的性质，求得答案．

解答 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD；
故①正确，
②∵BD=6，BC=16，
∴CD=10，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADB=180°-α-∠CDE，∠CED=180°-α-∠CDE，
∴∠ADB=∠DEC，
在△ABD与△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠ADB=∠DEC}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDE，
故②正确；
③△DCE为直角三角形，有以下两种可能：①∠CED=90°②∠EDC=90°．
①当∠CED=90°时，即∠AED=90°，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴BD=8．             
②当∠EDC=90°时，
∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠EDC=90°，
如图，过A作AF⊥BC于F，则BF=8，
∵∠B是公共角，∠AFB=∠BAD=90°，
∴△BFA∽△BAD，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BF}{AB}$，
∴BD=$\frac{25}{2}$．
综上所述，△DCE为直角三角形时，BD=8或BD=$\frac{25}{2}$．
故③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．