Question

如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；

求证：（1）CF=EB；

     （2）AB=AC+CF．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；

（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AC进行转化．

【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=DC，

在Rt△DCF和Rt△DEB中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL），

∴CF=EB；

（2）在△ADC与△ADE中，

，

∴△ADC≌△ADE（HL），

∴AC=AE，

∴AB=AE+BE=AC+CF．

【点评】本题主要考查平分线的性质，全等三角形的性质与判定，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键．