Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一个交点为（-1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．
（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=-x+3．易得AB平移m个单位所得直线EF的解析式为y=-x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（

3

2

，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．根据图象，易知重叠部分面积有两种情况：①当0＜m≤

3

2

时；②当

3

2

＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．

解答：解：（1）由题意可知，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一个交点为（-1，0），则

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

．
故抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）依题意：设M点坐标为（0，m），
①当MA=MB时：

32+m2

=

(3-m)2

解得m=0，
故M（0，0）；
②当AB=AM时：

32+m2

=3

2

解得m=3（舍去）或m=-3，
故M（0，-3）；
③当AB=BM时，

(m-3)2

=3

2

解得m=3±3

2

，
故M（0，3+3

2

）或M（0，3-3

2

）．
所以点M的坐标为：（0，0）、（0，-3）、（0，3+3

2

）、（0，3-3

2

）．

（3）平移后的三角形记为△PEF．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则

3k+b=0 b=3

，
解得

k=-1 b=3

．
则直线AB的解析式为y=-x+3．
△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，
易得直线EF的解析式为y=-x+3+m．
设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则

3k′+b′=0 k′+b′=4

，
解得

k′=-2 b′=6

．
则直线AC的解析式为y=-2x+6．
连结BE，直线BE交AC于G，则G（

3

2

，3）．
在△AOB沿x轴向右平移的过程中．
①当0＜m≤

3

2

时，如图1所示．
设PE交AB于K，EF交AC于M．
则BE=EK=m，PK=PA=3-m，
联立

y=-2x+6 y=-x+3+m

，
解得

x=3-m y=2m

，
即点M（3-m，2m）．
故S=S_△PEF-S_△PAK-S_△AFM
=

1

2

PE²-

1

2

PK²-

1

2

AF•h
=

9

2

-

1

2

（3-m）²-

1

2

m•2m
=-

3

2

m²+3m．
②当

3

2

＜m＜3时，如图2所示．
设PE交AB于K，交AC于H．
因为BE=m，所以PK=PA=3-m，
又因为直线AC的解析式为y=-2x+6，
所以当x=m时，得y=6-2m，
所以点H（m，6-2m）．
故S=S_△PAH-S_△PAK
=

1

2

PA•PH-

1

2

PA²
=-

1

2

（3-m）•（6-2m）-

1

2

（3-m）²
=

1

2

m²-3m+

9

2

．
综上所述，当0＜m≤

3

2

时，S=-

3

2

m²+3m；当

3

2

＜m＜3时，S=

1

2

m²-3m+

9

2

．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．