Question

18．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为BO，DO的中点，求证：AF∥CE．（请你用两种方法证明）

Answer 1

分析 利用平行四边形的性质进而得出△AFO≌△CEO（SAS），以及△AFD≌△CEB（SAS），再利用全等三角形的性质以及平行线的判定方法得出答案．

解答 证明：方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵E，F分别为BO，DO的中点，
∴EO=FO，
∵在△AFO和△CEO中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\\{FO=EO}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△CEO（SAS），
∴∠AFO=∠CEO，
∴AF∥EC；
方法二：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，AD∥BC，
∴∠ADF=∠CBE，
∵E，F分别为BO，DO的中点，
∴EO=FO，
∴DF=BE，
∵在△AFD和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADF=∠CBE}\\{DF=BE}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴∠AFD=∠CEB，
∴∠AFO=∠CEO，
∴AF∥EC．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，正确应用全等三角形的判定方法是解题关键．