Question

【题目】如图，是半圆的直径，，射线为半圆的切线．在上取一点，连接交半圆于点，连接．过点作，垂足为点，与相交于点．过点作半圆的切线，切点为，与相交于点．

（1）求证：；

（2）当与的面积相等时，求的长；

（3）求证：当在上移动时（点除外），点始终是线段的中点．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）见解析．

【解析】

（1）证明，再证明，即可得到结论；

（2）证明，结合与的面积相等，得到，再证明四边形是正方形，可得结论；

（3）由得：，过点作，垂足为．利用，得到，从而可得结论．

证明：（1）是半圆的直径

，即

又，

为半圆的切线

，

（2）为半圆的切线，

由（1）知，得

当与的面枳相等时，，得

，

连接，

又，是半圆的切线，

，

四边形是正方形，

四边形是矩形，

故

（3）由（2）知，

，即： …… ①

是半圆的切线

，

过点作，垂足为．

在中：，

则有，

化简得：…… ②

由①，②得

即：在上移动时（点除外），点始终是线段的中点．