Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，连接，点是线段上方抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，；；

【解析】

（1）利用待定系数法，即可求出解析式；

（2）先求出AB，OC的长度，结合，求出直线BC的方程，过点作轴垂线，交于点，设，则，然后用a的代数式表示DH，求出a的值，即可得到点D的坐标；

（3）根据题意，可分为两种情况进行情况①，作的垂直平分线交抛物线于点；情况②，作的外接圆，与抛物线交于点；结合二次函数与圆的性质，二次函数与一元二次方程的关系，即可求出点P的坐标.

解：（1）将点代入得：，

解得：

∴抛物线解析式为：；

（2）当时

解得：，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

如图①，过点作轴垂线，交于点，

设，则，

∴，

∴，

整理得，

解得：，

当时，；

当时，；

∴或；

（3）存在；

情况1：如图②，作的垂直平分线交抛物线于点，此时，

∵是等腰直角三角形，垂直平分，

∴，

由，得，

解得：，；

∴，；

情况2：如图③，作的外接圆，与抛物线交于点，

∵，

∴，

∵为直径，

∴，

过点作轴平行线交轴于点，过点作的垂线交的延长线于点，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

设，

则

∴，

整理得：，

解得：；

当时，点在第二象限，此时，故舍去

当时，，

∴，

综上所述：；；.