题目内容

如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= $数学公式$ 的图象交于A（2，3），B（-3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S_△ABC；
（3）连接OA，在x轴上找一点P，使△AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

解：（1）将点A（2，3）代入反比例函数关系式可得：3= $\text{[math]}$ ，
解得：m=6，
故可得反比例函数关系式为：y= $\text{[math]}$ ，
将点B（-3，n）代入反比例函数关系式可得：n= $\text{[math]}$ =-2，
故点B的坐标为（-3，-2），
将点A、点B的坐标代入一次函数关系式可得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故一次函数解析式为：y=x+1．
（2）

由一次函数解析式为y=x+1，可得点D的坐标为（-1，0），
则OD=1，CD=OC-OD=2，
则S_△ABC=S_△BCD+S_△ACD= $\text{[math]}$ CD×|B_纵|+ $\text{[math]}$ CD×|A_纵|=2+3=5．
（3）

①若OA=OP，
此时点P位于P₁或P₂，则可得P₁（ $\text{[math]}$ ，0），P₂（- $\text{[math]}$ ，0）；
②若OA=AP，
此时点P位于P₃，则可得P₃（4，0）；
③若OP=AP，作OA的中垂线，交x轴与P₄，则此时点P位于P₄，
此时OE= $\text{[math]}$ OA= $\text{[math]}$ ，
根据点A的坐标可得：cos∠AOP₄= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：OP₄= $\text{[math]}$ ，
则点P4的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）．
综上可得点P的坐标为P₁（ $\text{[math]}$ ，0）或P₂（- $\text{[math]}$ ，0）或P₃（4，0）或（ $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式可得出m的值，继而得出反比例函数解析式，将点B的坐标代入反比例函数解析式可得出n的值，将点A、点B的坐标代入依次函数关系式可得出一次函数的解析式．
（2）根据一次函数关系式可求出OD，继而得出CD，根据S_△ABC=S_△BCD+S_△ACD即可得出答案．
（3）分情况讨论，①OA=OP，②OA=AP，③OP=AP，依次求出点P的坐标即可．
点评：本题属于反比例函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积及等腰三角形的知识，难点在第三问，要讨论哪两条边相等，易漏解．