Question

已知m，n是方程l的两个实数根，且m＜n．如图，若抛物线l的图象经过点A（m，0），B（0，n）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C，D的坐标和△BCD的面积；
（3）已知P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点的坐标，过D作DE⊥x轴于E，利用S_△BCD=S_△CDE+S_梯形OBDE-S_△OBC求解即可；
（3）设P（a，0），则H（a，-a²-4a+5），由于直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点(a，

-a2-4a+5

2

)在直线BC上．代入BC的解析式y=x+5即可求得a的值，从而写出点C的坐标．

解答：解：（1）由方程x²-6x+5=0得x₁=1，x₂=5，
∵m＜n，
∴m=1，n=5，
∴A（1，0），B（0，5）．
把A（1，0），B（0，5）代入y=-x²+bx+c得：

-1+b+c=0 c=5

，
解得

b=-4 c=5

，
∴抛物线的解析式y=-x²-4x+5；

（2）C（-5，0），D（-2，9），
过D作DE⊥x轴于E，
∵易得E（-2，0）．
∴S_△BCD=S_△CDE+S_梯形OBDE-S_△OBC=

1

2

×3×9+

5+9

2

×2-

1

2

×5×5=15；

（3）设P（a，0），则H（a，-a²-4a+5），由于直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，
须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点(a，

-a2-4a+5

2

)在直线BC上．
∵易得直线BC的解析式为y=x+5，
∴

-a2-4a+5

2

=a+5，
解得a₁=-1，a₂=-5（不合题意，舍去），
∴P点坐标为（-1，0）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．