Question

8．在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=2，D是BC边上的点且BD=$\frac{1}{3}$CD，连接AD，把AD绕着点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，则点B到AD的距离为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 作AN⊥BC于N，BM⊥AD于M，根据$\frac{1}{2}$•BD•AN=$\frac{1}{2}$•AD•BM即可解决问题．

解答 解：如图，作AN⊥BC于N，BM⊥AD于M．
∵AB=AC=2，∠BAC=90°，
∴BC=2$\sqrt{2}$，AN=BN=NC=$\sqrt{2}$，
∵BD=$\frac{1}{3}$CD，
∴BD=DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$•BD•AN=$\frac{1}{2}$•AD•BM，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$•BM，
∴BM=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求高，属于中考常考题型．