Question

【题目】如图，在ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝12．点E是BC上一动点，将△ABE沿直线AE折叠，得到△AFE，则当AF与ABCD的边垂直时，BE的长为_____．

Answer 1

【答案】12﹣6或66

【解析】

如图1，当AF⊥BC时，由∠B=60°可得∠BAG=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可求出BG、AG的长，设BE=x，根据折叠的性质可得AF=AB，BE=EF，可得FG的长，可用x表示出EG的长，利用勾股定理列方程求出x的值即可；当AF⊥AB时，如图2，过E作EG⊥AB于点G，设BG＝x，利用∠B的正切值可得EG＝x，由折叠性质可证明△AGE是等腰直角三角形，可得AG＝EG，根据BG+AG=AB列方程可求出x的值，利用∠B的余弦值求出BE的长即可.

如图1，当AF⊥BC时，则∠EGF＝90°，

设BE＝EF＝x，

在Rt△ABG中，∠B＝60°，AB＝6，

∴∠BAG=30°，

∴BG3，AGAB＝3，

∵将△ABE沿直线AE折叠，得到△AFE，

∴AF＝AB＝6，BE=EF=x，

∴EG＝BG﹣BE＝3﹣x，FG＝AF﹣AG＝6﹣3，

∵EF2﹣EG2＝GF2，

∴，

解得，x＝12﹣6，

即BE＝12﹣6；

当AF⊥AB时，如图2，

过E作EG⊥AB于点G，设BG＝x，则

EG＝BGtan60°＝x，

∵将△ABE沿直线AE折叠，得到△AFE，∠BAF=90°，

∴∠EAG∠BAF＝45°，

∴△AGE是等腰直角三角形，

∴AG＝EG＝x，

∵AG+BG＝AB，

∴x+x＝6，

解得，x＝33，

∴BE66，

综上，BE＝12﹣6或66．

故答案为：12﹣6或66．