Question

5．操作发现：将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决：将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：AD∥BF；
（2）若AD=2，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥BC，DN⊥BC，根据等腰直角三角形的性质得到AM=$\frac{1}{2}$BC，由于∠DBC=30°，得到DN=$\frac{1}{2}$BD，推出四边形AMND是矩形，根据矩形的性质即可得到结论；
（2）作AM⊥BC，DN⊥BC，设DF=a，解直角三角形得到NF=$\frac{1}{2}$a，DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，求得AM=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，根据矩形的性质得到MN=AD=2，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）如图2，作AM⊥BC，DN⊥BC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠DBC=30°，
∴DN=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD=BC，
∴AM=DN，
∵AM⊥BC，DN⊥BC，
∴AM∥DN，
∴四边形AMND是矩形，
∴AD∥BC，

（2）如图2，作AM⊥BC，DN⊥BC，
设DF=a，
∵∠F=60°，
∴NF=$\frac{1}{2}$a，DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AM=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵BM=AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
由（1）知四边形AMND是矩形，
∴MN=AD=2，
∵∠BDF=90°，
∴BF=2DF=2a，
∴BF=BM+MN+NF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+2+$\frac{1}{2}$a=2a，
∴a=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=$\sqrt{3}$-1，
∴AB=$\sqrt{2}$BM=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质，平行线的判定，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，特殊角的三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．