题目内容
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于
点M，N．（1）图中相似三角形共有
（2）证明：AM2=MN•MP；
（3）若AD=6，DC﹕CP=2﹕1，求BN的长．
分析：（1）根据相似三角形的判定定理来做：△ADB∽△CBD、△ABN∽△PCN、△ADM∽△NBM、△AMB∽△PMD、△APD∽△ABN；
（2）由四边形ABCD是平行四边形的性质来证明△ADM∽△NBM、△PDM∽△ABM；再由相似三角形的对应边成比例的性质知：
=
、
=
，所以AM2=MN•MP．
（3）由四边形ABCD是平行四边形的性质来证明△PCN∽△PDA；再由相似三角形的对应边成比例的性质知：
=
；最后根据已知条件求解即可．
（2）由四边形ABCD是平行四边形的性质来证明△ADM∽△NBM、△PDM∽△ABM；再由相似三角形的对应边成比例的性质知：
| AM |
| MN |
| DM |
| BM |
| PM |
| AM |
| DM |
| BM |
（3）由四边形ABCD是平行四边形的性质来证明△PCN∽△PDA；再由相似三角形的对应边成比例的性质知：
| PC |
| PD |
| NC |
| AD |
解答：（1）解：6；（1分）
有△AMB∽△PMD，△ADM∽△NBM，△ABN∽△PCN∽△PDA，△ABD≌△CDB，
∴共6对；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠NBM，∠DAM=∠BNM，
∴△ADM∽△NBM，（3分）
∴
=
；
∵AB∥DC，
∴∠P=∠BAM，∠MDP=∠ABM，
∴△PDM∽△ABM，（5分）
∴
=
，
∴
=
，
∴AM2=MN•MP；（6分）
（3）解：∵AD∥BC，
∴∠PCN=∠PDA，∠P=∠P，
∴△PCN∽△PDA，（7分）
∴
=
，（8分）
∵DC：CP=2：1，
∴
=
=
；（9分）
又∵AD=6
∴NC=2，BN=4．（10分）
有△AMB∽△PMD，△ADM∽△NBM，△ABN∽△PCN∽△PDA，△ABD≌△CDB，
∴共6对；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠NBM，∠DAM=∠BNM，
∴△ADM∽△NBM，（3分）
∴
| AM |
| MN |
| DM |
| BM |
∵AB∥DC，
∴∠P=∠BAM，∠MDP=∠ABM，
∴△PDM∽△ABM，（5分）
∴
| PM |
| AM |
| DM |
| BM |
∴
| AM |
| MN |
| PM |
| AM |
∴AM2=MN•MP；（6分）
（3）解：∵AD∥BC，
∴∠PCN=∠PDA，∠P=∠P，
∴△PCN∽△PDA，（7分）
∴
| PC |
| PD |
| NC |
| AD |
∵DC：CP=2：1，
∴
| PC |
| PD |
| NC |
| AD |
| 1 |
| 3 |
又∵AD=6
∴NC=2，BN=4．（10分）
点评：本题主要考查的是平行四边形的性质：对边平行且相等和内错角相等；相似三角形的判定与性质．
练习册系列答案
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15、如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，AD∥BC，PB=PC．求证：PA=PD．
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（2013•梧州）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．
≌
