Question

【题目】如图1，直角三角形的直角顶点在矩形的对角线上（点不与点重合，可与点重合），满足，于点，已知，．

（1）若，则___________；

（2）当点在的平分线上时，求的长；

（3）当点的位置发生改变时：

①如图2，的外接圆是否与一直保持相切．说明理由；

②直接写出的外接圆与相切时的长．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）；（3）①的外接圆与一直保持相切，理由见解析；②4.

【解析】

（1）根据平行线截线段成比例得到，求出，则；

（2）根据平行线截线段成比例得到，设，，则，，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得到，最后利用等面积法列出的方程，解方程得出x，最后代入即可得出答案；

（3）①根据直径所对的圆周角是直角，可知的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆；利用证出，利用圆中半径相等，证出，即可得出答案；

②当的外接圆与相切时（图见解析），利用，表示出，，，，，再根据，列出方程，解出，则．

解：（1）在矩形中，，，

，

在矩形中，

∵于点，

∴，

∴，

∴，

，

．

故答案为：9．

（2）如图1，

在矩形中，

∵于点，

∴．

∴．

设，，则，.

作于点，

∵点在的平分线上，

∴．

，

即，解得．

∴．

（3）①的外接圆与一直保持相切．

如图2所示，

∵是直角三角形，

∴的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆．

在中，．

在中，，

∴，

∵，，即．

∵点是斜边的中点，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴当点的位置发生改变时，的外接圆与一直保持相切.

②4．

如图3，

的外接圆与切于点时，

的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆．

过点作于点，连接．

四边形为矩形，．

设，，，

，

则，．

在中，，

∴．

∵，即.

∴．

∴．

∴当的外接圆与相切时，的长为4．