Question

19．如图①，抛物线C₁：y=（x-1）²-4与x轴交于A，B两点，将抛物线绕B点旋转180°得到抛物线记为C₂．
（1）求C₂的函数解析式；
（2）如图②，已知C（0，3），连AC，线段AC绕平面内某一点顺时针旋转180°后得到线段PQ（点C，A的对应点分别是P，Q），若P，Q两点在抛物线C₁上，求P，Q两点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据旋转后抛物线的顶点坐标写出旋转后抛物线的解析式即可；
（2）根据设点P的坐标为（x，x²-2x-3），则由对称的性质可以求得点Q的纵坐标为：x²-4．所以根据AP=PQ可以求得x=2或x=-1，易得点P、Q的坐标了．

解答 解：（1）∵抛物线C₂是通过C₁旋转得到的，
∴它们的形状及大小完全相同，C₁的最小值就是C₂的最大值，且开口方向相反，易得：A（-1，0），B（3，0），
∴点A关于点B对称的坐标是D（7，0），
∴C₂的对称轴为直线x=5，
∴C₂的解析式为：y=-（x-5）²+4；

（2）设点P的横坐标为x，则纵坐标为：（x-1）²-4=x²-2x-3，
设点P与点C的旋转中心的横坐标为x₀，则x₀=$\frac{0+x}{2}$，设点Q的横坐标为x₁，同理可得：x₀=$\frac{-1+{x}_{1}}{2}$，
∴$\frac{0+x}{2}$=$\frac{-1+{x}_{1}}{2}$，
则x₁=x+1，
∴点Q的纵坐标为：（x+1）²-2（x+1）-3=x²-4．
∵AB=PQ，
∴AB²=PQ²，即1²+3²=[（x+1）-x]²+[（x²-4）-（x²-2x-3）]²，
解得：x=2或x=-1，
∴点P、Q的坐标分别是：P₁（2，-3）、Q₁（3，0）或P₂（-1，0）、Q₂（0，-3）．
显然，P₁Q₁与AB不是中心对称，而是轴对称，
综上所述，符合条件的坐标是：P（2，-3）、Q（3，0）．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换．由于抛物线旋转后的形状不变，故|a|不变，所以求旋转移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点旋转移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑旋转后的顶点坐标，即可求出解析式．