Question

16．Rt△ABC中，∠C=90°，方程x²-3sinA•x+3sinA-1=0有两个相等的实数根，斜边为c，方程cx²-2x+c=0也有两个相等的实数根，求这个直角三角形三边的长．

Answer 1

分析 根据方程x²-3sinA•x+3sinA-1=0有两个相等的实数根，得到关于sinA的方程，求得sinA，根据方程cx²-2x+c=0也有两个相等的实数根，得到关于c的方程，求得c，然后由三角函数和勾股定理即可得到结果．

解答 解：∵方程x²-3sinA•x+3sinA-1=0有两个相等的实数根，
∴△=（3sinA）²-4（3sinA-1）=9sin²A-12sinA+4=（3sinA-2）²=0，
解得：sinA=$\frac{2}{3}$，
∵方程cx²-2x+c=0也有两个相等的实数根，
∴△=（-2）²-4c²=0，
解得：c=±1，
∵c＞0，
∴c=1，
∵∠C=90°，斜边为c，
∴sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{2}{3}$，
∴a=$\frac{2}{3}$，
∴b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴这个直角三角形三边的长为$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角函数的定义．