题目内容

某一次函数的图象与x轴相交于点A（8，0），与y轴相交于点B（0，6），动点P、Q分别同时从A、B出发，其中点P在线段AB上点向B移动，速度是2单位/秒．点Q在线段BO上，以1个单位/秒的速度向点O移动，设移动的时间为t（秒）
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）四边形OAPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？
（4）若△BPQ是直角三角形，请直接写出点P的坐标．

解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），B（0，6）代入得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴一次函数的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+6，
答：一次函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+6．

（2）解：∵OB=6，OA=8，
根据勾股定理得：AB=10，
△AOB的面积= $\text{[math]}$ ×6×8=24，即可求出QD，
过点Q作QD⊥AB于D
∵sinB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴QD=BQ× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t
∴△BPQ的面积= $\text{[math]}$ ×（10-2t）× $\text{[math]}$ t=- $\text{[math]}$ t²+4t
∴S=24-（- $\text{[math]}$ t²+4t）= $\text{[math]}$ t²-4t+24，
答：S与t之间的函数关系式是S= $\text{[math]}$ t²-4t+24．

（3）解：当BP=BQ时 t=10-2t，t= $\text{[math]}$
当QB=QP时 $\text{[math]}$ t+2t=10，t= $\text{[math]}$
当PB=PQ时
t= $\text{[math]}$ （10-2t），t= $\text{[math]}$
综上所述．当t= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，△BPQ是等腰三角形，
答：当t= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，△BPQ是等腰三角形．

（4）解：点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
答：点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，把A（8，0），B（0，6）代入得到方程组，求出方程组的解，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数求出sinB，即可求出QD，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）分为3种情况：当BP=BQ时，t=10-2t，t= $\text{[math]}$ ；当QB=QP时， $\text{[math]}$ t+2t=10，t= $\text{[math]}$ ；当PB=PQ时，t= $\text{[math]}$ （10-2t），t= $\text{[math]}$ ，即可得到答案．
（4）根据直角三角形的性质求出点P的坐标．
点评：本题主要考查对一次函数的性质，用待定系数法求出一次函数的解析式，解二元一次方程组，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，难度适中．