Question

如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）。

⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。

Answer 1

解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入 得，解得 ∴抛物线的解折式为； （2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为， 即E点的坐标（） 又∵点E在直线上 ∴解得（舍去），， ∴E的坐标为（4，3）； （Ⅰ）当A为直角顶点时， 过A作AP1⊥DE交x轴于P1点， 设P1（a，0）易知D点坐标为（-2，0） 由Rt△AOD∽Rt△POA得即， ∴a=， ∴P1（，0）； （Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）； （Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、3） 由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP， Rt△AOP∽Rt△PFE 由得，解得， ∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0） 综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）； （Ⅲ）抛物线的对称轴为， ∵B、C关于对称， ∴MC=MB， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大， 易知直线AB的解折式为y=-x+1， ∴由得， ∴M。