题目内容
如图，△ABC中，∠C=90°，点E是AB的中点，过点E作DE⊥AB交BC于点D，连接AD，若AC=8，sin∠CAD=
| 3 | 5 |
（1）求：CD的长；
（2）求：DE的长．
分析：（1）由在Rt△ACD中，AC=8，sin∠CAD=
，利用方程思想与勾股定理即可求得CD的长；
（2）根据垂直平分线的性质，即可求得BD的值，则可得BC与AB的值，在Rt△BDE中，利用勾股定理求解即可．
| 3 |
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（2）根据垂直平分线的性质，即可求得BD的值，则可得BC与AB的值，在Rt△BDE中，利用勾股定理求解即可．
解答：解：（1）在Rt△ACD中，∠C=90°，
∴sin∠CAD=
=
，
设CD=3k，AD=5k，
∴AC=
=4k=8，
∴k=2，
∴CD=3k=6；
（2）∵点E是AB的中点，DE⊥AB于E，
∴BD=AD=5k=10，
∴BC=BD+CD=16，
在Rt△ACB中，∠C=90°，
∴AB=
=
=8
，
（解一）∴BE=
AB=4
．
（解二）∵∠B=∠B，∠DEB=∠C=90°，
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，
∴△DEB∽△ACB，
∴
=
，
∴
=
，
∴DE=2
．
∴sin∠CAD=
| CD |
| AD |
| 3 |
| 5 |
设CD=3k，AD=5k，
∴AC=
| AD2- CD2 |
∴k=2，
∴CD=3k=6；
（2）∵点E是AB的中点，DE⊥AB于E，
∴BD=AD=5k=10，
∴BC=BD+CD=16，
在Rt△ACB中，∠C=90°，
∴AB=
| AC2+BC2 |
| 82+162 |
| 5 |
（解一）∴BE=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
（解二）∵∠B=∠B，∠DEB=∠C=90°，
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，
∴△DEB∽△ACB，
∴
| DE |
| AC |
| BD |
| AB |
∴
| DE |
| 8 |
| 10 | ||
8
|
∴DE=2
| 5 |
点评：此题考查了直角三角形的性质与勾股定理等知识．解题的关键是数形结合与方程思想的应用．
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