题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数 $数学公式$ 的图象的交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y=kx+b的解析式；
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．

解：（1）∵点C（m，4）在直线 $\text{[math]}$ 上，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得m=3；
∵点A（-3，0）与C（3，4）在直线y=kx+b（k≠0）上，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴一次函数的解析式为 $\text{[math]}$ ．

（2）过点D₁⊥y轴于点E，过点D₂⊥x轴于点F，
∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AB=BD₁，AB=BD₂，
∵∠D₁BE+∠ABO=90°，
∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠EBD₁，
∵在△BED₁和△AOB中，
$\text{[math]}$
∴△BED₂≌△AOB（AAS），
∴BE=AO=3，D₁E=BO=2，
即可得出点D的坐标为（-2，5），
同理可得出：△BED₂≌△AOB，
∴FA=BO=2，D₂F=AO=3，
∴点D的坐标为（-2，5，
综上所述：点D的坐标为（-2，5）或（-5，3）．
分析：（1）首先利用待定系数法把C（m，4）代入正比例函数 $\text{[math]}$ 中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数y=kx+b中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式．
（2）利用△BED₁≌△AOB，△BED₂≌△AOB，即可得出点D的坐标．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识，根据已知得出△BED₁≌△AOB，△BED₂≌△AOB是解题关键．