Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点M，则下列说法正确的有
①AE=CF；②EC+CF=；③DE=DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值．

1. A.
   ①②
2. B.
   ①③
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：①如果连接CD，可证△ADE≌△CDF，得出AE=CF；
②由①知，EC+CF=EC+AE=AC，而AC为等腰直角△ABC的直角边，由于斜边AB=8，由勾股定理可求出AC=BC=4；
③由①知DE=DF；
④∵△ECF的面积=×CE×CF，如果这是一个定值，则CE•CF是一个定值，又EC+CF=，从而可唯一确定EC与EF的值，由勾股定理知EF的长也是一个定值．
解答：解：①连接CD．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，
在△ADE与△CDF中，∠A=DCF=45°，AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF．说法正确；
②∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，
∴AC=BC=4．
由①知AE=CF，
∴EC+CF=EC+AE=AC=4．说法正确；
③由①知△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．说法正确；
④∵△ECF的面积=×CE×CF，如果这是一个定值，则CE•CF是一个定值，
又∵EC+CF=，
∴可唯一确定EC与EF的值，
再由勾股定理知EF的长也是一个定值，说法正确．
故选D．
点评：本题综合考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及方程的思想，有一定难度．