Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿AC折叠，点D落在点F处，AF与BC交于点E．
（1）判断△AEC的形状，并说明理由；
（2）求△AEC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可得∠DAC=∠FAC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠ACB，从而得到∠FAC=∠ACB，再根据等角对等边可得AE=EC；
（2）设EC=x，表示出AE、BE，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程求出x，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：（1）△AEC是等腰三角形．
理由如下：∵矩形沿AC折叠，点D落在点F处，AF与BC交于点E，
∴∠DAC=∠FAC，
∵矩形ABCD对边AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠FAC=∠ACB，
∴AE=EC，
故，△AEC是等腰三角形；

（2）设EC=x，则AE=x，BE=BC-EC=8-x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE²=AB²+BE²，
即x²=4²+（8-x）²，
解得x=5，
所以，△AEC的面积=$\frac{1}{2}$×5×4=10．

点评 本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键．