Question

8．（1）如图，在四边形ABCD中，∠A=104°-∠2，∠ABC=76°+∠2，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．
求证：∠1=∠2．
请你完成下面证明过程．
证明：因为∠A=104°-∠2，∠ABC=76°+∠2，
所以：∠A+∠ABC=104°-∠2+76°+∠2，即∠A+∠ABC=180°
所以AD∥BC，（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠1=∠DBC，（两直线平行，内错角相等）
因为BD⊥DC，EF⊥DC，
所以∠BDC=90°，∠EFC=90°，（垂线的定义）
所以∠BDC=∠EFC，
所以BD∥EF，（同位角相等，两直线平行）
所以∠2=∠DBC，（两直线平行，同位角相等）
所以∠1=∠2（等量代换）．
（2）如图，已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F，①求证：AD∥BC．
②若∠1=36°，求∠2的度数．

Answer 1

分析 （1）首先观察已知条件中的角，不难发现：两个角互补，得平行．再根据平行线的性质得到有关角之间的关系，运用等量代换的方法证明最后的结论．
（2）①求出∠ABC+∠A═180°，根据平行线的判定得出即可；
②求出BD∥EF，根据平行线的性质得出∠1=∠3=∠2=38°，即可求出答案．

解答 （1）证明：因为∠A=104°-∠2，∠ABC=76°+∠2，（已知）
所以∠A+∠ABC=104°-∠2+76°+∠2，（等量代换）
即∠A+∠ABC=180°
所以AD∥BC，（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠1=∠DBC，（两直线平行，内错角相等）
因为BD⊥DC，EF⊥DC，（已知）
所以∠BDC=90°，∠EFC=90°，（垂线的定义）
所以∠BDC=∠EFC，
所以BD∥EF，（同位角相等，两直线平行）
所以∠2=∠DBC，（两直线平行，同位角相等）
所以∠1=∠2（等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂线的定义；EF；同位角相等，两直线平行；
两直线平行，同位角相等；等量代换；

（2）①证明：∵∠ABC=180°-∠A，
∴∠ABC+∠A═180°，
∴AD∥BC；

②解：∵AD∥BC，∠1=36°，
∴∠3=∠1=36°，
∵BD⊥CD于D，EF⊥CD于F，
∴∠BDF=∠EFC=90°，
∴BD∥EF，
∴∠2=∠3=36°．

点评 本题考查了垂直定义和平行线的性质和判定，能熟练地运用平行线的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．