Question

8．观察下列算式，你发现了什么规律？
1³=$\frac{1×4}{4}$；1³+2³=$\frac{4×9}{4}$，1³+2³+3³=$\frac{9×16}{4}$；1³+2³+3³+4³=$\frac{16×25}{4}$；…
（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值：1³+2³+3³+4³+5³；
（2）请用一个含n的算式表示这个规律：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）几个连续自然数的立方和其结果分母都为4，如果等号左边有1个加数，那么分子中的第一个因数为1²，第二个因数为2²，如果等号左边有2个加数，那么分子中的第一个因数为2²，第二个因数为3²，如果等号左边有n个加数，那么分子中的第一个因数为n²，第二个因数为（n+1）²；分母始终为4．
（2）根据规律得到：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．

解答 解：（1）根据发现的规律，计算下面算式的值：1³+2³+3³+…+5³=$\frac{25×36}{4}$；
（2）根据规律：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．