题目内容

两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．
（1）如图2，求当x=
12
时，y的值是多少？
（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式．
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分析：（1）当x=
1
2
时，E在△ABC内部，设DE交AC于G，那么重合部分的面积就是梯形EGCF的面积，可在直角三角形DCG中，根据∠D的正切值求出CG的长，然后根据梯形的面积公式即可得出重合部分的面积即y的值．
（2）当E在AB上时，在直角三角形BEF中，根据∠B的正切值和EF的长求出BF的值，进而可求CF即x的值，求y值可仿照（1）的方法进行求解．
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①当E在AB左侧（包括E在AB上）时，重合部分是个梯形，其面积可参照（1）的方法进行求解．
②当E在AB右侧时，重合部分是个五边形，可用梯形EGCF的面积-△EHQ的面积（设EF交AB于Q，ED交AB于H）来求重合部分的面积，据此可得出y、x的函数关系式．
解答：精英家教网
解：（1）如图1：AB=DE=5，∵FC=x=
1
2
．∴DC=DF-FC=
7
2
．
∵tanD=
GC
DC
=
EF
DF
=
3
4
，∴GC=
21
8
．
∴y=
1
2
（EF+GC）•FC=
45
32
．

（2）当点E运动到AB上时，如图2；
∵tanB=
EF
BF
=
AC
BC
=
4
3
，∴BF=
9
4
．
∴x=FC=BC-BF=
3
4
．
∵DC=DF-FC=
13
4
，
GC
DC
=
3
4
；
∴GC=
39
16
．
∴y=
1
2
（EF+GC）•FC=
261
128
．

（3）本题分两种情况：
①当0＜x≤
3
4
时，如图3；DC=4-x；
∵tanD=
GC
DC
=
EF
DF
=
3
4
，∴GC=3-
3
4
x．
∴y=
1
2
（EF+GC）•FC=-
3
8
x2+3x．
②当
3
4
＜x≤3时；如图4；y=S梯形EFCG-S△EHQ．
由①知，梯形EFCG的面积为-
3
8
x2+3x．
∵tanB=
QF
BF
=
AC
CB
=
4
3
，BF=3-x，
∴QF=4-
4
3
x．
∴EQ=3-QF=
4
3
x-1．
∵S△DEF=6，Rt△EHQ∽Rt△EFD．
∴S△EHQ：S△EFD=（EQ：ED）2；
∴S△EHQ=
6
25
（
4
3
x-1）2；
∴y=S梯形EFCG-S△EHQ=-
3
8
x2+3x-
6
25
（
4
3
x-1）2=-
481
600
x2+
91
25
x-
6
25
．
点评：本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．注意可用类比的方法求解多个类似题型．
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24、如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图a、图b、图c是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图a、图b、图c的方格纸上．
要求：（1）所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；
（2）画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．
如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
（1）请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1，图2，图3的方格纸上（要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹）；
（2）三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；
（3）三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少．
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（2）画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．
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（2）三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；
（3）三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少

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