Question

4．已知关于x的二次函数y=x²-（2k-1）x+k²+3k+4．
（1）当k为何值时，二次函数的图象都在x轴的上方？
（2）若二次函数的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），且${x}_{{1}_{\;}}$²+x₂²=5，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由题意得出判别式b²-4ac＜0，得出k的不等式，解不等式即可；
（2）由根与系数的关系得出x₁+x₂=2k-1，x₁•x₂=k²+3k+4，再由已知条件得出关于k的方程，解方程即可．

解答 解：（1）若二次函数的图象都在x轴的上方，则b²-4ac＜0，
即[-（2k-1）]²-4×1×（k²+3k+4）＜0，
解得：k＞-$\frac{15}{16}$，
∴当k＞-$\frac{15}{16}$时，二次函数的图象都在x轴的上方；
（2）∵二次函数的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=2k-1，x₁•x₂=k²+3k+4，
∵${x}_{{1}_{\;}}$²+x₂²=5，
∴（x₁+x₂ ）²-2x₁•x₂=5，
即（2k-1）²-2（k²+3k+4）=5，
解得：k=6，或k=-1（不合题意，舍去），
∴k=6．

点评 本题考查了二次函数的图象位置、根的判别式、一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握二次函数的图象以及根与系数的关系，并能进行推理计算是解决问题的关键．