题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，
使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．
（1）△BDF是什么三角形？请说明理由；
（2）设AD=x，CF=y，试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）
（3）当移动点D使EF∥AB时，求AD的长．
解：（1）△BDF是等边三角形，证明如下：
∵ED⊥AB，∠EDF=30°，∴∠FDB=60°，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°，
∴∠DFB=60°，∴△BDF是等边三角形．
（2）∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=2，
∵CF=y，∴BF=1-y，又△BDF是等边三角形，∴BD=BF=1-y，
∴x=2-（1-y）=1+y，∴y=x-1，
（3）当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，
∴CF=
EF，EF=DF，
∵DF=BF=1-y，∴y=
（1-y），∴y=
，
∴x=y+1=
，即AD=．
分析：（1）由已知可得∠FDB=60°，∠B=60°，从而可得到△BDF是等边三角形．
（2）由∠A=30°，∠ACB=90°可得AB=2BC=2，再将CF=y，BF=1-y，代入即可得出x，y的关系；
（3）当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，CF=EF，EF=DF，代入计算即可求得AD的长．
点评：本题考查的知识点比较多，难度较大，要熟练地掌握等边三角形的判定与性质．
∵ED⊥AB，∠EDF=30°，∴∠FDB=60°，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°，
∴∠DFB=60°，∴△BDF是等边三角形．
（2）∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=2，
∵CF=y，∴BF=1-y，又△BDF是等边三角形，∴BD=BF=1-y，
∴x=2-（1-y）=1+y，∴y=x-1，
（3）当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，
∴CF=
EF，EF=DF，∵DF=BF=1-y，∴y=
（1-y），∴y=，∴x=y+1=
，即AD=．分析：（1）由已知可得∠FDB=60°，∠B=60°，从而可得到△BDF是等边三角形．
（2）由∠A=30°，∠ACB=90°可得AB=2BC=2，再将CF=y，BF=1-y，代入即可得出x，y的关系；
（3）当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，CF=
EF，EF=DF，代入计算即可求得AD的长．点评：本题考查的知识点比较多，难度较大，要熟练地掌握等边三角形的判定与性质．
练习册系列答案
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