Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．
（1）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？
（2）连接DP，当t为何值时，四边形EQDP能成为平行四边形？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形？

Answer 1

分析：（1）先用t表示出PC及CQ的长，再求出

PC

AC

=

QC

BC

，即可得出结论；
（2）先由PE∥CD，得△APE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，求出PE的长，再根据四边形EQDP是平行四边形，得PE=DQ，可用含t的代数式表示出DQ的长，联立PE的表达式列方程求出t的值即可；
（3）由于∠EDQ≠90°，所以当△EDQ为直角三角形时，可分两种情况进行讨论：①∠EQP=90°；②∠QED=90°．两种情况都可以通过证明三角形相似，列出比例关系式，从而求出t的值．

解答：解：（1）如图1，
∵点P以1厘米/秒的速度从点A沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度从点B沿BC向终点C运动，
∴AP=t，BQ=1.25t，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴

PC

AC

=

4-t

4

=1-

t

4

，

QC

BC

=

5-1.25t

5

=1-

t

4

，
∴

PC

AC

=

QC

BC

，
∴PQ∥AB；

（2）如图2，∵PE∥CD，
∴△AEP∽△ADC，
∴

EP

DC

=

AP

AC

，
∴

EP

3

=

t

4

，
∴EP=

3t

4

．
∵四边形EQDP是平行四边形，
∴EP=QD，即

3t

4

=2-1.25t，
解得t=1．
故当t为1秒时，四边形EQDP能成为平行四边形；

（3）分两种情况讨论：
①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC，
∴

EQ

AC

=

DQ

DC

，即

4-t

4

=

1.25t-2

3

，
解得t=2.5（秒）；
②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则四边形EMCP是矩形，EM=PC=4-t．
在Rt△ACD中，∵AC=4厘米，CD=3厘米，
∴AD=

AC2+CD2

=5，
∴CN=

AC•CD

AD

=

12

5

．
∵∠EDQ=∠CDA，∠QED=∠ACD=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴

DQ

AD

=

EM

CN

，

1.25t-2

5

=

4-t

12 5

，
解得t=3.1（秒）．
综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．

点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的及直角三角形的性质，难度较大．