Question

10．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP ²=y，则表示y与x的函数关系的图象大致为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D． ?

Answer 1

分析 分三种情况：（1）当0≤x≤$\frac{1}{2}$时，（2）当$\frac{1}{2}$＜x≤2时，（3）当2＜x≤4时，根据勾股定理列出函数解析式，判断其图象即可求出结果．

解答 解：（1）当0≤x≤$\frac{1}{2}$时，
如图1，过M作ME⊥BC与E，
∵M为AB的中点，AB=2，
∴BM=1，
∵∠B=60°，
∴BE=$\frac{1}{2}$，ME=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PE=$\frac{1}{2}$-x，
在R_t△BME中，由勾股定理得：MP²=ME²+PE²，
∴y=${（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$${+（\frac{1}{2}-x）}^{2}$=x²-x+1；

（2）当$\frac{1}{2}$＜x≤2时
如图2，过M作ME⊥BC与E，
由（1）知BM=1，∠B=60°，
∴BE=$\frac{1}{2}$，ME=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PE=x-$\frac{1}{2}$，
∴MP²=ME²+PE²，
∴y=${（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$${+（\frac{1}{2}-x）}^{2}$=x²-x+1；

（3）当2＜x≤4时，
如图3，连结MC，
∵BM=1，BC=AB=2，∠B=60°，
∴∠BMC=90°，MC=$\sqrt{{2}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，
∵AB∥DC，
∴∠MCD=∠BMC=90°，
∴MP²=MC²+PC²，
∴y=${（\sqrt{3}）}^{2}{+（x-2）}^{2}$=x²-4x+7；综合（1）（2）（3），只有B选项符合题意．
故选B．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，正确的理解题意，画出图形是解题的关键．