题目内容

如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
（1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？

（1）证明：∵MN切⊙O于点M，
∴∠OMN=90°；
∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；
∴∠OMD=∠MNC；
又∵∠D=∠C=90°；
∴△ODM∽△MCN，

（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R；
∴OD=AD-OA=8-R，
由勾股定理得：（8-R）²+x²=R²，
∴64-16R+R²+x²=R²，
∴ $\text{[math]}$ ；

（3）解法一：∵CM=CD-DM=8-x，
又∵ $\text{[math]}$ ，
且有△ODM∽△MCN，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴代入得到 $\text{[math]}$ ；
同理 $\text{[math]}$ ，
∴代入得到 $\text{[math]}$ ；
∴△CMN的周长为P= $\text{[math]}$ =（8-x）+（x+8）=16．
发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．
解法二：在Rt△ODM中， $\text{[math]}$ ，
设△ODM的周长P′= $\text{[math]}$ ；
而△MCN∽△ODM，且相似比 $\text{[math]}$ ；
∵ $\text{[math]}$ ，
∴△MCN的周长为P= $\text{[math]}$ ．
发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．
分析：（1）依题意可得∠OMC=∠MNC，然后可证得△ODM∽△MCN．
（2）设DM=x，OA=OM=R，OD=AD-OA=8-R，根据勾股定理求出OA的值．
（3）由1可求证△ODM∽△MCN，利用线段比求出CN，MN的值．然后可求出△CMN的周长等于CM+CN+MN，把各个线段消去代入可求出周长．
点评：本题考查的是相似三角形的判定，正方形的判定，勾股定理、切线性质和二次函数的综合运用等有关知识．