题目内容
【题目】如图，直径
把圆
分为两个半圆，一个半圆弧上有一定点
，另一半圆弧上有一动点
．过作
交
的延长线于点
．
（1）求证：
（2）若
，
①当点运动到半圆弧中点时，求
边
上的高；
②当点运动到什么位置时，的面积最大？并求这个最大面积
．
【答案】（1）证明见解析；（2）①
，
；②当PC=10时，
．
【解析】
（1）易知
，
，证明
即可.
（2）①当点
运动到半圆弧
中点时,连接AP，过点A作AH⊥PC，由圆周角定理知
，得到
，
，根据勾股定理在
中
，从而得到
，利用等积法求得
的斜边PC上的高
，再根据
的性质，得到PQ上的高
的值；
②因点运动过程中，恒成立，而
面积为定值，根据
，得到
，故当QC最大为直径时，
最大.问题得解.
（1）证明：∵是直径∴
又∵
，∴
又∵∴∴
∴
（2）①解：由直径
，
可得
，
∵点在半圆弧的中点∴，
过
作
于
，在
中
∴
∴
在中
∴
设斜边上高为，
斜边上高为
得
∵∴
∴
②解：在点运动过程中，恒成立
∴当
最大时，
面积最大
∵
直径
此时，
，可得，
∴
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