Question

【题目】在平面直角坐标系中，为原点，抛物线经过点，对称轴为直线，点关于直线的对称点为点.过点作直线轴，交轴于点.

（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；

（Ⅱ）点在轴上，当的值最小时，求点的坐标；

（Ⅲ）抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为;抛物线的对称轴为直线;（Ⅱ）点坐标为;（Ⅲ）存在，点坐标为或，理由见解析

【解析】

（Ⅰ）将点代入二次函数的解析式，即可求出a，再根据对称轴的公式即可求解.

（Ⅱ）先求出B点胡坐标，要求胡最小值，只需找到B关于轴的对称点，则直线A与y轴的交点就是点P，根据待定系数法求出AB1的解析式，令y=0，即可求出P点的坐标.

（Ⅲ）设点Q的坐标，并求出△AOQ面积，从而得到△AOQ面积，根据Q点胡不同位置进行分类，用m及割补法求出面积方程，即可求解.

（Ⅰ）∵经过点，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为，

∵，

∴抛物线的对称轴为直线.

（Ⅱ）∵点，对称轴为，

∴点关于对称轴的对称点点坐标为.

作点关于轴的对称点，得，

设直线AB1的解析式为，

把点，点代入得，

解得，∴.

∴直线与轴的交点即为点.

令得，

∵点坐标为.

（Ⅲ）∵，轴，∴，，

∴，

又∵，∴.

设点坐标为，

如图情况一，作，交延长线于点，

∵，

∴，

化简整理得，

解得，.

如图情况二，作，交延长线于点，交轴于点，

∵，

∴，

化简整理得，

解得，，

∴点坐标为或，

∴抛物线上存在点，使得.